题目内容

设函数f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，
4
3
]时y=g（x）的最大值．
分析：（1）利用两角差的正弦公式及二倍角公式及asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)化简三角函数；再利用三角函数的周期公式求出周期．
（2）在y=g（x）上任取一点，据对称行求出其对称点，利用对称点在y=f（x）上，求出g（x）的解析式，求出整体角的范围，据三角函数的有界性求出最值．
解答：解：（1）f（x）=sin
π
4
xcos
π
6
-cos
π
4
xsin
π
6
-cos
π
4
x=
3
2
sin
π
4
x-
3
2
cos
π
4
x=
3
sin(
π
4
x-
π
3
)
故f（x）的最小正周期为T=
2π
π
4
=8
（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2-x，g（x））．
由题设条件，点（2-x，g（x））在y=f（x）的图象上，
从而g(x)=f(2-x)=
3
sin[
π
4
(2-x)-
π
3
]=
3
sin[
π
2
-
π
4
x-
π
3
]=
3
cos(
π
4
x+
π
3
)
当0≤x≤
4
3
时，
π
3
≤
π
4
x+
π
3
≤
2π
3
时，
因此y=g（x）在区间[0，
4
3
]上的最大值为gmax=
3
cos
π
3
=
3
2
点评：本题考查常利用三角函数的二倍角公式及公式asinx+bcosx=
a2+b2
sin(x+θ)化简三角函数、利用轴对称性求函数的解析式、
利用整体角处理的思想求出最值．
练习册系列答案
相关题目
（2011•安徽模拟）设函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
，x∈[0，π]
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1，c=
3
，求a的值．
设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，-
π
2
＜φ＜
π
2
)，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线x=
π
12
对称；     
②它的图象关于点(
π
3
，0)对称；
③它的周期是π；                   
④在区间[0，
π
6
)上是增函数．
以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的命题：
条件
①③
①③
结论
②
②
；（用序号表示）
设函数f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R，ω＞0)的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(x)•f(-x)=
1
4
，x∈(
π
4
，
π
2
)，求tanx的值．
设函数f(x)=sin(2x+
π
3
)，则下列结论正确的是（　　）
设函数f(x)=sinωx+2
3
sin2
ωx
2
（ω＞0）的最小正周期为
2π
3
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将y=f（x）的图象向左平移
π
2
个单位可得y=g（x）的图象，求不等式g(x)≥2
3
的解集．

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