题目内容
【题目】在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，
，
，侧面
底面ABCD，
，
．
若PB的中点为E，求证：
平面PCD；
若
，求二面角
的余弦值．
【答案】
证明见解析；
【解析】
取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，
，由此能证明
平面PCD；
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的余弦值．
证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，
，
，且
，
，且
，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，
平面PCD，
平面PCD．
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面，
，
，
，则
、
、
两两垂直，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，
，
，
，
设平面BDP的法向量
，
则
，取
，得
，
设平面PCD的法向量
，
则
，取
，得
，
设二面角的平面角为
，则
，
二面角的余弦值为
．
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