题目内容
【题目】已知圆 : ,直线 : .
(1)设点 是直线 上的一动点,过 点作圆 的两条切线,切点分别为 ,求四边形 的面积的最小值;
(2)过 作直线 的垂线交圆 于 点, 为 关于 轴的对称点,若 是圆 上异于 的两个不同点,且满足: ,试证明直线 的斜率为定值.
【答案】
(1)解:设四边形 的面积为 , ,
,所以,当 最小时, 就最小,
,所以:
(2)解:直线 的方程为: ,代入 ,且 在第一象限,得 则 .设 , ,
, 设直线 的斜率为 ,则 斜率为 , , ,
联立 消 得: , ,得 ,
同理 , ,
所以,直线 的斜率为定值1.
【解析】(1)首先求出四边形的面积,结合面积以及勾股定理公式得出当 | O P | 最小时, | A P | 就最小,,由题意可知最小距离即为原点到直线l的距离,求出该值即为四边形面积的最小值。(2)首先根据题意由角的相等关系得出直线DM的斜率,再由点斜式求出直线的方程,联立直线与圆的方程消元得到关于x的一元二次方程,结合韦达定理求出xMx1的值,因为xM的值为1进而求出x1的代数式,同理得到x2的代数式,故整理可得直线CD的斜率从而求出其值为1即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的斜率的相关知识,掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα.
【题目】某学校在校学生2 000人,为了学生的“德、智、体”全面发展,学校举行了跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级 | 高二年级 | 高三年级 | |
跑步人数 | a | b | c |
登山人数 | x | y | z |
其中a∶b∶c=2∶5∶3,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取( )
A.15人
B.30人
C.40人
D.45人