题目内容

【题目】已知圆 : ,直线
(1)设点 是直线 上的一动点,过 点作圆 的两条切线,切点分别为 ,求四边形 的面积的最小值;
(2)过 作直线 的垂线交圆 点, 关于 轴的对称点,若 是圆 上异于 的两个不同点,且满足: ,试证明直线 的斜率为定值.

【答案】
(1)解:设四边形 的面积为
,所以,当 最小时, 就最小,
,所以:
(2)解:直线 的方程为: ,代入 ,且 在第一象限,得 .设
设直线 的斜率为 ,则 斜率为
联立 得: ,得
同理
所以,直线 的斜率为定值1.
【解析】(1)首先求出四边形的面积,结合面积以及勾股定理公式得出当 | O P | 最小时, | A P | 就最小,,由题意可知最小距离即为原点到直线l的距离,求出该值即为四边形面积的最小值。(2)首先根据题意由角的相等关系得出直线DM的斜率,再由点斜式求出直线的方程,联立直线与圆的方程消元得到关于x的一元二次方程,结合韦达定理求出xMx1的值,因为xM的值为1进而求出x1的代数式,同理得到x2的代数式,故整理可得直线CD的斜率从而求出其值为1即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线的斜率的相关知识,掌握一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα.

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