题目内容
如果偶函数f（x）在R上可导，且是周期为T=3的周期函数，且f′（1）=0，则方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根个数至少是（ ）A．11
B．9
C．7
D．5
【答案】分析：由题意可得，函数f′（x）是奇函数，故可得 f′（0）=0 且周期等于
．再由 f′（1）=0，利用函数的周期性求出方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根，从而得出结论．
解答：解：由偶函数f（x）的周期为T=3可得，f（x+
）=f（x-
）=f（
-x），
∴偶函数f（x）的图象关于直线x=
对称，且函数f′（x）是奇函数，且周期等于
．
由偶函数f（x）在R上可导，知 f'（0）=f'（
）=f'（3）=0．
再由周期等于
以及 f′（1）=0，求得 f′（
）=f′（4）=f′（
）=f′（
）=f′（6）=0．
综上，方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根为 x=0，
，1，
，3，4，
，
，6，共有9个，
故选 B．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，利用函数的奇偶性与周期性求函数的值，属于中档题．
．再由 f′（1）=0，利用函数的周期性求出方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根，从而得出结论．解答：解：由偶函数f（x）的周期为T=3可得，f（x+
）=f（x-）=f（-x），∴偶函数f（x）的图象关于直线x=
对称，且函数f′（x）是奇函数，且周期等于．由偶函数f（x）在R上可导，知 f'（0）=f'（
）=f'（3）=0．再由周期等于
以及 f′（1）=0，求得 f′（）=f′（4）=f′（）=f′（）=f′（6）=0．综上，方程f′（x）=0在区间[0，6]上的实根为 x=0，
，1，，3，4，，，6，共有9个，故选 B．
点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，利用函数的奇偶性与周期性求函数的值，属于中档题．
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