题目内容

如果偶函数f(x)在R上可导,且是周期为T=3的周期函数,且f′(1)=0,则方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根个数至少是(  )
分析:由题意可得,函数f′(x)是奇函数,故可得 f′(0)=0 且周期等于
3
2
.再由 f′(1)=0,利用函数的周期性求出方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根,从而得出结论.
解答:解:由偶函数f(x)的周期为T=3可得,f(x+
3
2
)=f(x-
3
2
)=f(
3
2
-x),
∴偶函数f(x)的图象关于直线x=
3
2
对称,且函数f′(x)是奇函数,且周期等于
3
2

由偶函数f(x)在R上可导,知 f'(0)=f'(
3
2
)=f'(3)=0.
再由周期等于
3
2
以及 f′(1)=0,求得 f′(
5
2
)=f′(4)=f′(
9
2
)=f′(
11
2
)=f′(6)=0.
综上,方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根为 x=0,
3
2
,1,
5
2
,3,4,
9
2
11
2
,6,共有9个,
故选B.
点评:本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,利用函数的奇偶性与周期性求函数的值,属于中档题.
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