题目内容

【题目】若曲线f(x)= (e﹣1<x<e2﹣1)和g(x)=﹣x3+x2(x<0)上分别存在点A、B,使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,则实数a的取值范围是(
A.(e,e2
B.(e,
C.(1,e2
D.[1,e)

【答案】B
【解析】解:设A(x1 , y1),y1=f(x1)= ,B(x2 , y2),y2=g(x2)=﹣x23+x22(x<0), 则 =0,x2=﹣x1 , ∴

由题意, ,即 =0,

∵e﹣1<x1<e2﹣1,


设h(x)= ,则h′(x)=
∵e﹣1<x<e2﹣1,
∴h′(x)>0,
即函数h(x)= 在(e﹣1<x<e2﹣1)上为增函数,

即e<a<
∴实数a的取值范围是(e, ).
故选:B.
由题意设出A,B的坐标,代入函数解析式,利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示,由 可得关于A的横坐标的方程,分离参数a后构造函数h(x)= ,利用导数求其在(e﹣1<x<e2﹣1)上的单调性,得到函数的值域得答案.

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