题目内容
【题目】如图，已知圆
，点
，
是圆
上任意一点，线段
的垂直平分线和半径
相交于
.
（1）求动点
的轨迹
的方程；
（2）设直线
与（Ⅰ）中轨迹相交于
，
两点，直线
，，
的斜率分别为
，
，
（其中
），
的面积为
，以，为直径的圆的面积分别为
，
，若，，恰好构成等比数列，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）连接
，根据题意，
，可得
，故动点
的轨迹
是以
，
为焦点，长轴长为
的椭圆．解出即可；（2）设直线
的方程为
，
，
．与椭圆的方程联立可得
，利用根与系数的关系及其
，
，
构成等比数列，可得
，解得
，
．利用
，解得
，且
．利用
，可得
为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出
的取值范围．
试题解析：（1）连接
，根据题意，，则，
故动点
的轨迹
是以
，
为焦点，长轴长为4的椭圆.
设其方程为
，可知
，
，则
，
∴点的轨迹的方程为.
（2）设直线
的方程为
，
，.
联立
，化为，
∴
，
，
.
∵
，
，
构成等比数列，∴
，化为，
∴
，解得.∵
，∴
.
此时
，解得.
又由
、
、
三点不共线得
，从而
.
故
，
又
，则
为定值.
∴
，当且仅当
时等号成立.
综上：.
练习册系列答案
相关题目
【题目】某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：
喜欢 | 不喜欢 | 合计 | |
大于40岁 | 20 | 5 | 25 |
20岁至40岁 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 25 | 55 |
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
下面的临界值表供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
）
