Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率e=

1

2

．直线x=t（t＞0）与曲线E交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且△ABC的面积为

5

2

，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）根据已知中椭圆

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率e=

1

2

．构造关于a的方程，解方程求出a值，可得椭圆E的方程；
（2）由已知设圆心C的坐标为（t，0），联立椭圆的方程，可得圆心C的半径r=

12-3t2

2

，利用勾股定理可得弦长|AB|，最后结合△ABC的面积为

5

2

，可求出t值，进而得到圆C的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

3

）的离心率e=

1

2

，
∴

a2-3

a

=

1

2

．解得a=2．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由圆C的一条直径MN，是直线x=t（t＞0）被曲线E所截弦
故可设圆心C的坐标为（t，0）（0＜t＜2）
由

x=t x2 4 + y2 3 =1

得y²=

12-3t2

4

∴圆心C的半径r=

12-3t2

2

∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜

12-3t2

2

，即0＜t＜

2 21

7

∴弦长|AB|=2

r2-a2

=2

12-3t2 4 -t2

=

12-7t2

∴△ABC的面积S=

1

2

t•

12-7t2

=

5

2

解得t=1或t=

35

7

∴圆C的标准方程为(x-1)2+y2=

9

4

或(x-

35

7

)2+y2=

69

28

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，圆的标准方程，弦长公式，是解析几何的综合应用，难度较大．