Question

【题目】已知点P（1，m）在抛物线C：y2=2Px（P＞0）上，F为焦点，且|PF|=3．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点T（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）若以A为圆心，|AT|为半径的圆与y轴交于M，N两点，求△MNF的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：抛物线C：y2=2px（p＞0），

∴焦点F（ ）．…（1分）

由抛物线定义得：|PF|=1+ =3，

解得p=4，

∴抛物线C的方程为y2=8x．

（2）解：（i）依题意可设过点T（4，0）的直线l的方程为x=ty+4，

由 ，得y2﹣8ty﹣32=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=8t，y1y2=﹣32，

∴ ，

∴ = + =16﹣32=﹣16．

（ii）设A（x1，y1），M（0，yM），N（0，yN），则 ，①

以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为 ，

令x=0，则 +（y﹣y1）2=（4﹣x1）2+ ，②

把①代入②得（y﹣y1）2=16，

∴y=y1+4或y=y1﹣4，

∴|MN|=|yM﹣yN|=8，

∴S△MNF= |MN||OF|= =8．

【解析】（1）由抛物线定义得：|PF|=1+ =3，由此能求出抛物线C的方程．（2）（i）依题意设过点T（4，0）的直线l的方程为x=ty+4，由 ，得y2﹣8ty﹣32=0，由此利用韦达定理能求出 =﹣16．（ii）设A（x1 ， y1），M（0，yM），N（0，yN），则 ，以A为圆心，|AT|为半径的圆的方程为 ，由此能求出△MNF的面积．