Question

18．已知a＞0且a≠1，若关于x的不等式log_ax＞x有解，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，1）∪（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）
• C． （1，${e}^{\frac{1}{e}}$）
• D． （0，1）∪（1，e）

Answer 1

分析 利用函数，不等式和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：设f（x）=log_ax，g（x）=x，
若关于x的不等式log_ax＞x有解，
则等价为f（x）和g（x）的图象有交点．
若0＜a＜1，作出两个函数的图象，此时两个函数恒有一个交点，满足条件．
若a＞1时，当f（x）和g（x）相切时，满足条件．
设切点为（m，m），
则f′（x）=$\frac{1}{xlna}$，即切线斜率k=f′（m）=$\frac{1}{mlna}$=1
则切线方程为y-m=x-m，即切线方程为y=x，
此时满足mlna=1，且log_am=m，
则mlna=1，且$\frac{lnm}{lna}=m$，
即mlna•$\frac{lnm}{lna}=m$，
即lnm=1，则m=e，即切点为（e，e）．
此时elna=1，lna=$\frac{1}{e}$，解得a=${e}^{\frac{1}{e}}$，
∴此时若f（x）和g（x）的图象有交点，则1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$，
综上a的取值范围是（0，1）∪（1，${e}^{\frac{1}{e}}$），
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，转化为函数与方程问题，利用数形结合是解决本题的关键．