Question

过抛物线y²=4x的焦点引一直线，已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1，求这条直线的方程．

Answer 1

分析：先求出抛物线的焦点坐标，然后设出所求弦的两端点的坐标进而可表示出直线AB的斜率，根据直线被抛物线截得的弦被焦点分成2：1得到

y1

y2

=-2，再结合AB过焦点F(

p

2

，0)可得到y₁y₂=-p²即可得到y₁y₂=-4，最后联立

y1

y2

=-2与y₁y₂=-4求出y₁与y₂的值，进而可求得直线AB的斜率得到方程．

解答：解：由y²=4x得焦点F（1，0），设所求弦两端点为A=(

y12

4

，y1)，B=(

y22

4

，y2)，
直线kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=

4

y 1+y 2

①，

y1

y2

=-2②
又AB过焦点F(

p

2

，0)，且y₁y₂=-p²，故y₁y₂=-4③
由②③解得

y1=2 2 y2=- 2

或

y1=- 2 y2=2 2

，
把y₁，y₂代入①式得k=±2

2

，
故所求的直线方程为2

2

x±y-2

2

=0

点评：本题主要考查抛物线的简单性质和直线的方程的一般式．考查基础知识的综合运用．