题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为
,
为
上位于第一象限的任意一点,过点
的直线
交
于另一点
,交
轴的正半轴于点
.
(1)若当点的横坐标为
,且
为等边三角形,求
的方程;
(2)对于(1)中求出的抛物线,若点
,记点
关于
轴的对称点为
,
交
轴于点
,且
,求证:点
的坐标为
,并求点
到直线
的距离
的取值范围.
【答案】(1) ; (2)证明见解析,
【解析】
(1)由抛物线焦半径公式知,根据等边三角形特点可知
,从而得到
点坐标;利用中点坐标公式求得
中点
;根据
可构造方程求得
,从而得到所求方程;(2)设直线
的方程为:
,
,
,将直线方程与抛物线方程联立可得韦达定理的形式;利用
三点共线,根据向量共线坐标表示可得
,代入韦达定理整理得到
点坐标;利用
为等腰直角三角形可求得
,从而构造出方程求得
,根据韦达定理的形式可确定
的取值范围;利用点到直线距离公式可将问题转化为关于
的函数值域的求解问题;利用函数单调性求得所求的范围即可.
(1)由题意知:,
为等边三角形
中点为:
由为等边三角形知:
,即
轴
,解得:
的方程为:
(2)设直线的方程为:
,
,
,则
由得:
设,则
,
三点共线
即
为等腰直角三角形
即
,可得:
,又
令,
,则
在
上单调递减
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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