题目内容
【题目】已知函数,
,其中
.
(1)求函数在
的值域;
(2)用表示实数
,
的最大值,记函数
,讨论函数
的零点个数.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)求导得到,讨论
和
得到函数
在
单调递增,计算得到答案.
(2)时,
恒成立,当
时,
恒成立,故
的零点即为函数
的零点,讨论
在
的零点个数得到答案.
(1)
当时,
,
,所以
当时,
,
,所以
所以:当时,
成立,即函数
在
单调递增
所以函数在
的值域为
,即值域为
.
(2)函数的定义域为
由(1)得,函数在
单调递增,
当时,
,又
,
所以时,
恒成立,即
时,
无零点.
当时,
恒成立,所以
的零点即为函数
的零点
下面讨论函数在
的零点个数
,所以
Ⅰ、当时,因为
,
又函数在区间
递减,所以
即当时,
,
所以单调递减,由
得:当
时
,
递增
当时
,
递减
当时
,
,当
时
又,
当时,函数
有1个零点;
当时,函数
有2个零点;
当时,函数
有3个零点;
Ⅱ、当时,
,由Ⅰ得:当
时,
,
递增,
当时,
,
递减,所以
,
,
所以当时函数
有2个零点
Ⅲ、当时,
,
,即
成立,由
,
所以当时函数
有1个零点
综上所述:当或
时,函数
有1个零点;
当或
时,函数
有2个零点;
当时,函数
有3个零点.
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