题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
,
,
,
,
分别为
的中点.
(Ⅰ)证明:平面∥平面
;
(Ⅱ)若,
(1)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值;
(2)求点到平面
的距离.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)(1);(2)
【解析】
(Ⅰ)证出,
,利用面面平行的判断定理即可证明.
(Ⅱ)(1)以为坐标原点,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向,
建立空间直角坐标系,分别求出平面
的一个法向量、平面
的一个法向量,利用法向量的数量积求出二面角的夹角.
(2)由平面的法向量,
,根据数量积的几何意义即可求解.
(Ⅰ)连接为等边三角形,
为
的中点,
,
平面
,
,
又平面
,
平面
,
平面
,
分别为
的中点,
,
又平面
平面
,
平面
.
又平面
,
平面
平面
.
(Ⅱ)(1)连接,
平面
平面
,平面
平面
,
平面
,
平面
.
又两两互相垂直.
以为坐标原点,
分别为
轴,
轴,
轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
,
则,
设平面的一个法向量为
,
平面的一个法向量为
,
由
,得
,
取
,
,
由
,得
,
取
,
平面
与平面
成锐二的余弦值为
(2)面的法向量为
,
,
.
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