题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB,PA⊥AD.
(Ⅰ)求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)已知PA=AD,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
(ⅰ)若点F在棱PA上,且PF:FA=2:1,求证:EF∥平面ABCD;
(ⅱ)求二面角D﹣AC﹣E的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)(ⅰ)证明见解析,(ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理即可证出.
(Ⅱ)(ⅰ)利用线面平行的判定定理即可证出;
(ⅱ)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面ACE的一个法向量以及平面ADC的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求出.
证明:(Ⅰ)∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,
∴PA⊥平面ABCD.
(Ⅱ)(ⅰ)PA=AD,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
点F在棱PA上,且PF:FA=2:1,
∴EF∥AD,
∵EF平面ABCD,AD平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
解:(ⅱ)∵在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥AB,PA⊥AD,
PA=AD,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,
设PA=AD=3,则A(0,0,0),C(3,3,0),E(0,2,1).
(3,3,0),
(0,2,1),
设平面ACE的法向量(x,y,z),
则,取x=1,得
(1,﹣1,2),
平面ADC的法向量(0,0,1),
设二面角D﹣AC﹣E的平面角为α,
则cosα.
∴二面角D﹣AC﹣E的余弦值为.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系,对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟).
平均每天锻炼的时间/分钟 | ||||||
总人数 | 34 | 51 | 59 | 66 | 65 | 25 |
将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
锻炼不达标 | 锻炼达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 40 | 160 | |
合计 |
(2)通过计算判断,是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关?
参考公式:,其中
.
临界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |