题目内容
【题目】已知动点到点
的距离与点
到直线
的距离的比值为
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)设为轨迹
与
轴正半轴的交点,
上是否存在两点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明满足条件的
的个数;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)存在,3个
【解析】
(1)设动点根据所给条件列出方程,化简即可.
(2)由题意可知,直角边不可能垂直或平行于
轴,故可设
所在直线的方程为
,不妨设
,则直线
所在的方程为
. 联立直线与曲线方程,消元即可求出
点的坐标,求出
的长,同理可得
,再由
得到方程,解得.
解:(1)设动点,则
,
所以,
平方并化简,得.
所以轨迹的方程为
.
(2)存在. 理由如下:
由题意可知,直角边不可能垂直或平行于
轴,故可设
所在直线的方程为
,不妨设
,则直线
所在的方程为
.
联立方程消去
,并整理得
,
解得,
将代入
可得
,
所以点的坐标为
.
所以.
同理可得,
由,得
,
所以,则
,解得
或
.
当斜率
时,
斜率
;当
斜率
时,
斜率
;当
斜率
时,
斜率
.
综上所述,符合条件的三角形有3个.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率