题目内容
已知由正数组成的数列{an},它的前n项和为Sn.
(Ⅰ)若数列{an}满足:an+1=qan(q≠0),试判断数列{Sn}是等比数列还是等差数列?并说明理由.
(Ⅱ)若数列{an}满足:,且Sn与的等比中项为n(n∈N*),求.
解:(I)由 得{an}为等比数列,假设Sn是等比数列,则S22=S1S3,整理得q=0与q≠0矛盾,
所以Sn不是等比数列;
假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3整理得q=1或q=0(舍)所以q=1时,Sn是等差数列,q≠1,Sn不是等差数列;
(II)由条件得,即Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1,
相减得an(n2-1)=(n-1)2an-1(n≥2),
得,
所以Sn=n2an=得=1.
分析:(I)由已知可 得{an}为等比数列,
若Sn是等比数列,则S22=S1S3,若Sn是等差数列,则2S2=S1+S3通过解方程可求 q,从而进行判断
(II)由已知得从而可得Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1
两式相减整理可得,,得,利用裂项求和,再进行求解极限即可.
点评:本题主要考查了等差、等比数列的应用,裂项求和及数列的极限的求解,属于基础知识的综合运用.
所以Sn不是等比数列;
假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3整理得q=1或q=0(舍)所以q=1时,Sn是等差数列,q≠1,Sn不是等差数列;
(II)由条件得,即Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1,
相减得an(n2-1)=(n-1)2an-1(n≥2),
得,
所以Sn=n2an=得=1.
分析:(I)由已知可 得{an}为等比数列,
若Sn是等比数列,则S22=S1S3,若Sn是等差数列,则2S2=S1+S3通过解方程可求 q,从而进行判断
(II)由已知得从而可得Sn=n2an3,Sn-1=(n-1)2an-1
两式相减整理可得,,得,利用裂项求和,再进行求解极限即可.
点评:本题主要考查了等差、等比数列的应用,裂项求和及数列的极限的求解,属于基础知识的综合运用.
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