题目内容

17.已知数列{an}满足a1=1,an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…+$\frac{1}{n-1}$an-1(n>1),则数列{an}的通项公式an=n,若an=2013,则n=2013.

分析 通过an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…+$\frac{1}{n-1}$an-1与an+1=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…+$\frac{1}{n-1}$an-1+$\frac{1}{n}$an作差、整理可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$,利用累乘法计算即得结论.

解答 解:∵an=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…+$\frac{1}{n-1}$an-1(n>1),
∴an+1=a1+$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{3}$a3+…+$\frac{1}{n-1}$an-1+$\frac{1}{n}$an
两式相减得:an+1-an=$\frac{1}{n}$an,即an+1=$\frac{n+1}{n}$an
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$,
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$,
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$,

$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$,
累乘得:$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{1}$,
∴an=na1=n,
故答案为:n,2013.

点评 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于中档题.

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