Question

（2013•闸北区二模）设

OA

=(x，a-x)，

OB

=(x，2)，x∈[1，2），且

OA

⊥

OB

，则函数f(x)=loga|

1

a

x-1|的最大值为

0

．

Answer 1

分析：先根据数量积判断两个平面向量的垂直关系，得出x与a的关系式，再将其代入函数f（x）的解析式，化简后画出函数的简图，数形结合得出函数的单调性，从而求出函数的最大值．

解答：解：∵

OA

=(x，a-x)，

OB

=(x，2)，且

OA

⊥

OB

，
∴x²+2（a-x）=0，
∴a=

2x-x2

2

，x∈[1，2），
则函数f(x)=loga|

1

a

x-1|=log

2x-x2

2

|

2x

2x-x2

-1|=log

2x-x2

2

x

2-x

=log

x(2-x)

2

x

2-x

=

lg x 2-x

lg x(2-x) 2

=

lgx-lg(2-x)

lgx+lg(2-x)-lg2

，
故f（x）=

lgx-lg(2-x)

lgx+lg(2-x)-lg2

，x∈[1，2），
作出其函数的图象，如图所示．
由图可得，当x=1时，函数f(x)=loga|

1

a

x-1|的最大值为0．
故答案为：0．

点评：本小题主要考查数量积判断两个平面向量的垂直关系、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于难题．