题目内容

3．已知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在区间（0，+∞）上为减函数，求证：对任意x1，x2∈（0，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．

分析 由减函数特性，可知g（x1+x2）＜g（x1），g（x1+x2）＜g（x2），可得x1•f（x1+x2）＜（x1+x2）f（x1）
，x2•f（x1+x2）＜（x1+x2）•f（x2）两式相加有（x1+x2）f（x1+x2）＜（x1+x2）（f（x1）+f（x2）），即可证明结论．

解答 证明：由题知x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞x1，x1+x2＞x2，
由减函数特性，可知g（x1+x2）＜g（x1），g（x1+x2）＜g（x2），
即f（x1+x2）÷（x1+x2）＜f（x1）÷x1（1），f（x1+x2）÷（x1+x2）＜f（x2）÷x2（2）
由于x1＞0，x2＞0，则由（1）得，x1•f（x1+x2）＜（x1+x2）f（x1）
由（2）得，x2•f（x1+x2）＜（x1+x2）•f（x2）
两式相加有（x1+x2）f（x1+x2）＜（x1+x2）（f（x1）+f（x2））
x1+x2＞0，则有 f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2）即f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）．

点评 本题考查减函数的性质，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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