Question

已知函数f(x)＝ (a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x₁＝3，x₂＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)< .

Answer 1

（1）f(x)＝ (x≠2)
（2）当1<k<2时，原不等式的解集为{x|1<x<k或x>2}；
当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；
当k>2时，原不等式的解集为{x|1<x<2或x>k}．

试题分析：解： (1)将x₁＝3，x₂＝4分别代入方程－x＋12＝0，得
，                         3分
解得.
∴f(x)＝ (x≠2)                        5分
(2)原不等式即为<，可化为<0.     6分
即(x－2)(x－1)(x－k)>0.                          7分
①当1<k<2时，1<x<k或x>2;                    9分
②当k＝2时，x>1且x≠2；                  10分
③当k>2时，1<x<2或x>k.                     12分
综上所述，当1<k<2时，原不等式的解集为{x|1<x<k或x>2}；
当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；
当k>2时，原不等式的解集为{x|1<x<2或x>k}．    13分
点评：主要是考查了函数解析式以及一元二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的运用，属于中档题。