题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥ABCD，设PD=4
，M、N分别是PB、AB的中点．（Ⅰ）求异面直线MN与PD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角M-DN-C的平面角的正切值．
【答案】分析：（I）连接BD，并取其中点O，连接MO，NO，MN，DN，PN，可得∠NMO为异面直线MN与PD所成角，且MO⊥平面ABCD，求出NO，MO，即可求异面直线MN与PD所成角的大小；
（Ⅱ）过点O作OG⊥DN于G，连接MG，则∠MGO是二面角M-DN-C的平面角，从而可求二面角M-DN-C的平面角的正切值．
解答：
解：（I）如图，连接BD，并取其中点O，连接MO，NO，MN，DN，PN，
则MO∥PD，且MO=
∴∠NMO为异面直线MN与PD所成角，且MO⊥平面ABCD
∴MO⊥NO，MO=
，NO=
∴tan∠NMO=
=
∴∠NMO=
∴异面直线MN与PD所成角为
；
（II）过点O作OG⊥DN于G，连接MG．
∵MO⊥平面ABCD，∴OG是MG在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得：MG⊥DN，∴∠MGO是二面角M-DN-C的平面角．
在△DON中，由面积相等得：
∴
，
∵OM=
=2
，
∴tan
∴二面角M-DN-C的平面角的正切值
．
点评：本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出空间角是关键．
（Ⅱ）过点O作OG⊥DN于G，连接MG，则∠MGO是二面角M-DN-C的平面角，从而可求二面角M-DN-C的平面角的正切值．
解答：
解：（I）如图，连接BD，并取其中点O，连接MO，NO，MN，DN，PN，则MO∥PD，且MO=
∴∠NMO为异面直线MN与PD所成角，且MO⊥平面ABCD
∴MO⊥NO，MO=
，NO=∴tan∠NMO=
=∴∠NMO=
∴异面直线MN与PD所成角为
；（II）过点O作OG⊥DN于G，连接MG．
∵MO⊥平面ABCD，∴OG是MG在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得：MG⊥DN，∴∠MGO是二面角M-DN-C的平面角．
在△DON中，由面积相等得：
∴
，∵OM=
=2，∴tan
∴二面角M-DN-C的平面角的正切值
．点评：本题考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出空间角是关键．
练习册系列答案
各地期末复习特训卷系列答案
小博士期末闯关100分系列答案
相关题目
如图：已知四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，
如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．
（2012•崇明县二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，AB=2，AP=2．
（2012•吉林二模）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，点M，N分别在PD，PC上，