Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 的离心率 ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2

椭圆上的点到点Q的距离 =

①当﹣b≤﹣1时，即b≥1， 得b=1

②当﹣b＞﹣1时，即b＜1， 得b=1（舍）

∴b=1

∴椭圆方程为

（2）解：假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1

∵|AB|= ，点O到直线l距离

∴ =

∵m2+n2＞1

∴0＜ ＜1，∴

当且仅当 ，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值 ，

又∵

解得：

所以点M的坐标为 或 或 或 ，△AOB的面积为 ．

【解析】（1）由 得a2=3b2 ， 椭圆方程为x2+3y2=3b2 ， 求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．