Question

20．在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC内一点，满足|OA|=|OB|=|OC|，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是8．

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0．于是$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}）•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，化简代入即可得出．

解答 解：如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．
则$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，OD⊥BC，即$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{BC}$=0．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DO}）•\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{BC}$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\frac{1}{2}$$（{\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}×（{5}^{2}-{3}^{2}）$
=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量平行四边形法则、垂经定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．