题目内容
5.△ABC的重心为G,M在△ABC的平面内,求证:MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3GM2.分析 利用G为三角形ABC的重心得到$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$,结合向量的三角形法则、数量积运算化简计算.
解答 证明:因为△ABC的重心为G,M在△ABC的平面内,
所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$,又$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$,$\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$,$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$,
所以${\overrightarrow{MA}}^{2}+{\overrightarrow{MB}}^{2}+{\overrightarrow{MC}}^{2}$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$+2$\overrightarrow{MG}•(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$=${\overrightarrow{GA}}^{2}+{\overrightarrow{GB}}^{2}+{\overrightarrow{GC}}^{2}+3{\overrightarrow{MG}}^{2}$.
点评 本题考查了三角形重心的性质,向量的三角形法则以及平面向量的运算;关键是利用△ABC的重心为G,则$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.
A. | [$\frac{3π}{2}$,2π] | B. | ($\frac{3π}{2}$,2π) | C. | [$\frac{7π}{4}$,2π] | D. | ($\frac{7π}{4}$,2π) |