题目内容
【题目】已知.
(1)当时,求证:
;
(2)当时,试讨论方程
的解的个数.
【答案】(1)证明见解析;(2)时,方程一个解;当
且
时,方程两个解.
【解析】试题分析:(1)等价于
,令
,利用导数研究函数的单调性求出
,即可得结论;(2)问题转化为函数
的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数
单调性及最值情况,从而可得方程解的个数.
试题解析:(1)要证,
只要证(*)
令,则
,
而,所以
在
上单调递增,又
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
∴,即
,(*)式成立
所以原不等式成立.
(2)问题转化为函数的零点个数.
而,
.
令,解得
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
所以,
设,
,
而,
则在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,即
(当
即
时取等).
1°当时,
,则
恒成立.
所以在
上单调递增,又
,则
有一个零点;
2°当时,
,
,
有在
上单调递减,在
上单调递增,
且时,
则存在使得
,又
这时在
上单调递增,在
上单调递减,
在
上单调递增
所以,又
时,
,
所以这时有两个零点;
3°当时,
,
.
有在
上单调递减,在
上单调递增,
且时,
,
则存在使得
.又
,
这时在
上单调递增,在
上单调递减,
在
上单调递增.
所以.又
时,
,
.
所以这时有两个零点;
综上: 时,原方程一个解;当
且
时,原方程两个解.
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