题目内容

18.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,其图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$,又锐角三角形ABC中,满足f(C)=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若tanA-$\frac{1}{sin2A}$=tanB,求角A.

分析 (Ⅰ)根据函数的周期性以及对称性,求出ω,φ,即可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)根据三角函数的倍角公式将等式进行化简,即可得到结论.

解答 解:(Ⅰ)由已知,$\frac{2π}{ω}=π$,∴ω=2-----------------------------(1分)
∵其图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$,
∴$f({\frac{π}{8}})=±1∴\frac{π}{4}+ϕ=kπ+\frac{π}{2}⇒ϕ=kπ+\frac{π}{4}$-----(3分)
∵-π<ϕ<0,∴$ϕ=-\frac{3π}{4}$-------(4分)       
故$f(x)=sin(2x-\frac{3π}{4})$-------(5分)
(法二:因为其图象的一条对称轴是直线$x=\frac{π}{8}$,
∴$f(0)=f({\frac{π}{4}})$,
得$sinφ=sin({\frac{π}{2}+φ})=cosφ$,得tanφ=1.
(Ⅱ)$f(C)=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得$sin({2C-\frac{3π}{4}})=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∵$C∈({0,\frac{π}{2}})∴2C-\frac{3π}{4}∈({-\frac{3π}{4},\frac{π}{4}})$,
∴$2C-\frac{3π}{4}=-\frac{π}{4}∴C=\frac{π}{4}$------------(7分)
∴$A+B=\frac{3π}{4}$-----------------------------①
由$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$得$\frac{sinA}{cosA}-\frac{1}{2sinAcosA}=\frac{sinB}{cosB}$
得$\frac{{2{{sin}^2}A-1}}{2sinAcosA}=\frac{sinB}{cosB}$得$-\frac{cos2A}{sin2A}=\frac{sinB}{cosB}$------------------------------(9分)
得cos2AcosB+sin2AsinB=0得cos(2A-B)=0----------------------(10分)
∴$2A-B=kπ+\frac{π}{2}$$2A=kπ+\frac{π}{2}+B$,
∵A,B都是锐角∴$2A=\frac{π}{2}+B$------②
解①②得A=$\frac{5π}{12}$---------------------------------------------(12分)

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键.

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