Question

1．已知正数x，y满足：x+4y=xy，则x+y的最小值为9．

Answer 1

分析 将x+4y=xy，转化为$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，再由x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）展开后利用基本不等式可求出x+y的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+4y=xy，
∴$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴x+y=（x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{y}$）=5+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$=9，当且仅当x=2y取等号，结合x+4y=xy，
解得x=6，y=3
∴x+y的最小值为9，
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式，应注意等号成立的条件；“1”的替换是一个常用的技巧，应学会灵活运用．