Question

【题目】已知点，直线：，点为上一动点，过作直线，为的中垂线，与交于点，设点的轨迹为曲线Γ.

（1）求曲线Γ的方程；

（2）若过的直线与Γ交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求与的比值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）易知，即点到的距离等于点到点的距离，可知点的轨迹为抛物线，求出方程即可；

（2）设线段的垂直平分线与交于点，分别过点作，垂足为，再过点作，垂足为，易知，可得，进而结合抛物线的定义，可求出的值，即可得到与的比值.

（1）由题意可知，即点到的距离等于点到点的距离，

所以点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，

其方程为：.

（2）设线段的垂直平分线与交于点，分别过点作，垂足为，

再过点作，垂足为，

因为， 所以∽，所以，

设，(不妨设)，由抛物线定义得， ，

所以，

而，

所以.