Question

7．设a为实数，函数f（x）=-x³+3x+a．
（1）求f（x）的极值；
（2）是否存在实数a，使得方程f（x）=0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值即可；
（2）根据第一问可知，只需极大值或极小值为零可使f（x）=0恰有两个实根．

解答 解：（1）令f′（x）=-3x²+3=0得x=±1，
当x＜-1时，f′（x）＜0
当-1＜x＜1时，f′（x）＞0
当x＞1时，f′（x）＜0
f（x）_极小=f（-1）=a-2，f（x）_极大=f（1）=a+2；
（2）当极大值或极小值为零时f（x）=0恰有两个实根，
则a=2或a=-2

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及三次方程的实数根问题，属于基础题．