题目内容

12.已知f(x)=x2-2x+sin$\frac{π}{2}$x,x∈(0,1)在x=x0处取得极小值,若f(x1)=f(x2),试证明:x1+x2>2x0

分析 先利用导数研究函数f(x)在区间(0,1)上的单调性、极值,判断x0所在的区间,结合函数的单调性找到x1,x2,x0之间的关系.

解答 证明:∵f(x)=x2-2x+sin$\frac{π}{2}$x,
∴f′(x)=2x-2+$\frac{π}{2}$cos$\frac{π}{2}$x.
令φ(x)=f′(x),x∈(0,1].
φ′(x)=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$sin$\frac{π}{2}$x,
显然φ′(x)在(0,1)上递减,又φ′(0)=2>0,φ′(1)=2-$\frac{{π}^{2}}{4}$<0.
故存在唯一实数n,使得φ′(n)=0,
∴φ(x)在(0,n)上递增,在(n,1)上递减.
而f′(0)=-2+$\frac{π}{2}$<0,f′(1)=0,∴f′(n)>0.
由f′(x0)=0知0<x0<n<1.
令x1<x2
∴f(x)在(0,x1)递减,在(x2,1)递增.
由f(x1)=f(x2)得,0<x1<x0<x2<1.
令F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),
则F′(x)=4x0-4+$πcos\frac{π{x}_{0}}{2}cos\frac{πx}{2}$,
又F′(x)在(0,1)上单调递减,
∴F′(x)<F′(0)=4x0-4+$πcos\frac{π}{2}{x}_{0}$=2f′(x0)=0,
∴F(x)在(0,1)上单调递减,
∴F(x)<F(0)=0,
∴f(x0+x)<f(x0-x),
∵f(x1)=f(x2)=f[x0-(x0-x2)]<f[x0+(x0-x2)]=f(2x0-x2),
∵0<x2<1,∴0<2x0-x2<x0
又∵0<x1<x0
而f(x)在(0,x0)上单调递减,
∴x1>2x0-x2,即x1+x2>2x0

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法,考查了转化能力、推理能力与计算能力,属于难题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网