Question

（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．
如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A₁BC被一平面DEE₁D₁所截，若平面DEE₁D₁分别交AB,AC,A₁B,A₁C于点D,E,D₁,E₁。
（1）讨论这三条交线ED,CB, E₁ D₁的关系。
（2）当BC//平面DEE₁D₁时,求的值;

（3）当BC不平行平面DEE₁D₁时, 的值变化吗？为什么？

Answer 1

（1）互相平行或三线共点。
当BC//平面DEE₁D₁时，
平面ABC平面DEE₁D₁=ED
BC// ED,同理CB// E₁ D₁
∴ED//CB// E₁ D₁
当BC不平行平面DEE₁D₁时,
延长ED、CB交于点H，
∴H∈EF  ∵EF平面DEE₁D₁   ∴H∈平面DEE₁D₁ 
同理H∈平面A₁BC
∴H∈平面DEE₁D₁∩平面A₁BC
即H∈E₁D₁   ∴E₁、D₁、H三点共线
∴三线共点
（2）解：∵BC//平面DEE₁D₁
且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE₁D₁="ED  "
∴BC∥ED，同理BC∥E₁D₁  
在△ABC中，BC∥ED
∴= 同理可得=
∴==1
（3）解：

由（1）可得，延长ED、CB、E₁D₁交于点H，
过点B作BF∥AC，BG∥A₁C    
∵BF∥AC   ∴=
同理可得=
在△HCE中，BG∥CE₁       ∴=
同理可得=
∴=====1
的值不变化，仍为1

略