Question

圆M：x²+y²-4x-2y+4=0
（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；
（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标

Answer 1

分析：①首先对切线分两种情况讨论，过原点时与不过原点时．然后分别设出直线，根据切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍建立等式，分别求出切线方程．
②根据PA²=PO²，得到a，b的关系式2a+b=2，然后表示出以PM为直径的圆方程．通过对该圆的方程的分析，求出其通过的定点即可．

解答：解：（1）当切线过原点时，设切线为y=kx，
由

|2k-1|

1+k2

=1
得k=

4

3

，k=0（舍）
当切线不过原点时，
设切线为

x

2a

+

y

a

=1
即x+2y=2a，
由

|2+2-2a|

5

=1
得2a=4±

5

6′，
所以所求的切线方程为y=

4

3

x，x+2y=4±

5

（2）由条件PA²=PO²，
得（a-2）²+（b-1）²=a²+b²
得2a+b=2
以PM为直径的圆方程为x²+y²-（2+a）x-（b+1）y+b+2a=0
12′x²+y²-（2+a）x-（3-2a）y+2=0

x-2y=0 x2+y2-2x-3y+2=0

y=1 x=2

y= 2 5 x= 4 5

所以异于M的定点为(

4

5

，

2

5

)

点评：本题考查直线与圆的位置关系-相切，以及当直线与圆相切时的性质．通过两个小题不同的条件分别分析求解．本题在考查性质的同时也考查了运算能力以及对题目整体的把握．