Question

【题目】已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．

（1）求的值；

（2）求的单调区间；

（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递增区间是，单调递减区间是；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导可得 ；（2）由（1）知，．设,再利用导数工具进行求解；（3）由（2）可知，当时，，故只需证明在时成立,再利用导数工具进行证明．

试题解析：（1），由已知，，．

（2）由（1）知，．

设，则，即在上是减函数，

由知，当时，从而，

当时，从而，

综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（3）由（2）可知，当时，，

故只需证明在时成立．

当时，，且，．

设，，则 ，

当时，，当时，，

所以当时，取得最大值．

所以．

综上，对任意，．