Question

6．已知椭圆的左焦点为F₁，右焦点为F₂．若椭圆上存在一点P，满足线段PF₂相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₂的中点，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 先设切点为M，连接OM，PF₁，根据已知条件即可得到|PF₁|=2b，并且知道PF₁⊥PF₂，这样即可可求得|PF₂|=$2\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$，这样利用椭圆的定义便得到$2b+2\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}=2a$，化简即可得到$b=\frac{2}{3}a$，根据离心率的计算公式即可求得离心率e．

解答 解：如图，
设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₂相切于M点，连接OM，PF₂；
∵M，O分别是PF₂，F₁F₂的中点；
∴MO∥PF₁，且|PF₁|=2|MO|=2b；
OM⊥PF₂；
∴PF₁⊥PF₂，|F₁F₂|=2c；
∴$|P{F}_{2}|=\sqrt{4{c}^{2}-4{b}^{2}}$；
根据椭圆的定义，|PF₁|+|PF₂|=2a；
∴$2b+\sqrt{4{c}^{2}-4{b}^{2}}=2a$；
∴$a-b=\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$；
两边平方得：a²-2ab+b²=c²-b²，c²=a²-b²代入并化简得：
2a=3b，∴$b=\frac{2}{3}a$；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$；
即椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故选A．

点评 考查中位线的性质，圆心和切点的连线和切线的关系，以及椭圆的定义，c²=a²-b²，椭圆离心率的计算公式．