Question

18．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤10，单位：米）；曲线BC是抛物线y=-ax²+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．

（1）若要求CD=20米，AD=（10$\sqrt{3}$+30）米，求t与a值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出B的坐标，可得圆的半径为20，圆心为（0，10），可得圆的方程，进而得到C的坐标，代入抛物线方程，即可得到a；
（2）求得CD的长，运用抛物线方程，求出OD长，由题意知FD=30-t+$\sqrt{\frac{t}{a}}$≤45对t∈（0，10]恒成立，即有$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$恒成立，运用基本不等式和函数的单调性判断右边函数的单调性，求得最小值，再解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）由题意可得B（0，30），
CD=30-t=20，解得t=10．
此时圆E：x²+（y-10）²=400，令y=0，得AO=10$\sqrt{3}$，
所以OD=AD-AO=30，
将点C（30，20）代入y=-ax²+30（a＞0）中，
解得a=$\frac{1}{90}$；
（2）因为圆E的半径为30-t，所以CD=30-t，
在y=-ax²+30中，令y=30-t，
得OD=$\sqrt{\frac{t}{a}}$，
则由题意知FD=30-t+$\sqrt{\frac{t}{a}}$≤45对t∈（0，10]恒成立，
所以$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$恒成立，
当$\sqrt{t}$=$\frac{15}{\sqrt{t}}$，即t=15∉（0，10]时，
由y=$\sqrt{t}$+$\frac{15}{\sqrt{t}}$（t∈（0，10]）递减，可知：
当t=10取最小值$\sqrt{10}$+$\frac{15}{\sqrt{10}}$，
故$\sqrt{\frac{1}{a}}$≤$\sqrt{10}$+$\frac{15}{\sqrt{10}}$，
解得a≥$\frac{2}{125}$．

点评 本题考查圆的方程和抛物线方程的运用，同时考查不等式恒成立思想，以及参数分离和基本不等式的运用，属于中档题和易错题．