Question

【题目】已知正项等比数列{an}前n项和为Sn ， 且满足S3= ，a6 ， 3a5 ， a7成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列bn= ，且数列bn的前n项的和Tn ， 试比较Tn与 的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q， 因为a6 ， 3a5 ， a7成等差数列，
所以6a5=a6+a7 ，
所以6a5=qa5+q2a5 ．
因为a5≠0，
所以q2+q﹣6=0，
又an＞0，
所以q=2．
由S3= ，
解得a1= ，
所以通项公式为an= 2n﹣1=2n﹣2 ．
（Ⅱ）bn=
=
=
=
= （ ﹣ ）
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
= （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）
= （1﹣ ）＜
【解析】（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质即可求出公比，问题得以解决；（Ⅱ）根据对数的运算性质和裂项求和以及放缩法即可求出答案．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．