Question

已知正数数列中，，前项和为，对任意，、、成等差数列.
（1）求和；
（2）设，数列的前项和为，当时，证明：.

Answer 1

（1），；（2）证明过程详见试题解析.

试题分析：（1）因为、、成等差数列，所以，即，所以 ，当时，，那么，即，∴，，，…，，，.
把以上个式子相乘得：，所以，那么.（2）因为，变形得，那么可根据数列求和的列项相消法先求出，显然，又再根据，可知，所以.
试题解析：（1）依题意：，   即 ，
∴. ∴.
当时，
②代入①并整理得:
∴，，，…，，

把以上个式子相乘得： ，   又∵
∴
∵当时，也满足上式，所以
∵
∴
（2）
∴
∵ ， ∴，∴
又

∴.项和；证明数列不等式.