Question

如图四棱锥P-ABCD，它的正视图如图（1），是等腰三角形，
侧视图如图（2），是等腰直角三角形，俯视图如图（3），是正方形ABCD．
各长度如图所示．
（I）求证：平面ADP⊥平面ABP；
（II）设E为AB中点，试在线段PE上确定一点M，使得OM∥平面PDC，并证明；
（III）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直．
（2）取线段PE的中点为M．由三角形中位线性质证明线线平行，从而证明线面平行．
（3）直接使用棱锥的体积公式，底面是边长为2的正方形，棱锥的高是2．

解答：（1）证明：∵面ABP⊥面ABCD，AD⊥AB
∴AD⊥面ABP（2分）
∴平面ADP⊥平面ABP（3分）
（也可在此问中取AB中点E，只需证明AD与AB和PE垂直．）
（2）取线段PE的中点为M．（4分）
证明：延长EO至F，且F∈CD，连接PF．
在三角形EPF中，EM=MP，EO=OF，
∴MO∥PF（6分）
∵MO?面PDC（7分）
MO∥面PDC（8分）
（3）V=

1

3

Sh=

1

3

*4*2=

8

3

（13分）

点评：本题考查线面平行、面面垂直的判定，椎体的体积．