Question

14．已知等差数列{a_n}，公差大于零，a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，令数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n（n∈N₊）
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n（n∈N₊），试比较c_n+1与c_n的大小．

Answer 1

分析 （1）由公差d＞0得则a₂＜a₅，解方程x²-12x+27=0可得a₂、a₅，由等差数列的通项公式求出d，再求出数列{a_n}的通项公式，由S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n得S_n+1=1-$\frac{1}{2}$b_n+1，两个式子相减并化简，由等比数列的定义、通项公式求出{b_n}的通项公式；
（2）由（1）化简c_n=a_n•b_n，代入c_n+1-c_n化简，根据n的范围判断出式子的符号，即可得到c_n+1与c_n的大小．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差d＞0，则a₂＜a₅，
∵a₂、a₅且是方程x²-12x+27=0的两根，解得a₂=3，a₅=9，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=2，
则a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；
在数列{b_n}中，S_n=1-$\frac{1}{2}$b_n，①
则S_n+1=1-$\frac{1}{2}$b_n+1，②
②-①得：b_n+1=$-\frac{1}{2}$b_n+1$+\frac{1}{2}$b_n，则$\frac{3}{2}$b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
当n=1时，S₁=1-$\frac{1}{2}$b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{2}{3}$为首项、为$\frac{1}{3}$公比的等比数列，
∴b_n=$\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}$=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）由（1）得，c_n=a_n•b_n=（2n-1）•$\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴c_n+1-c_n=（2n+1）•$\frac{2}{{3}^{n+1}}$-（2n-1）•$\frac{2}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{{3}^{n}}$（$\frac{2n+1}{3}$-2n+1）=$\frac{2}{{3}^{n}}$•$\frac{4（1-n）}{3}$，
∴当n=1时，c_n+1-c_n=0，即c₁=c₂；
当n≥2时，c_n+1-c_n＜0，则从第二项起有c_n+1＜c_n．

点评 本题考查等差数列的通项公式，等比数列的定义、通项公式，数列的前n项和S_n与a_n的关系，以及作差法比较大小，属于中档题．