题目内容
【题目】已知分别是椭圆
的长轴与短轴的一个端点,
是椭圆的左、右焦点,以
点为圆心、3为半径的圆与以
点为圆心、1为半径的圆的交点在椭圆
上,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆
上一点,直线
与
轴交于点
,直线
与
轴交于点
,求证:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:根据题意列方程,利用待定系数法解方程求出椭圆的标准方程,第二步设出点P的坐标,满足椭圆方程作为条件(1),写出直线AP、BP的方程,表示点M、N的坐标,得到和
的长的表达式,两者相乘,代入条件(1)并化简所得的积,化简后恰好为
.
试题解析:
(1)由题意得,解得
,
所以椭圆的方程为
.
(2)由(1)及题意可画图,如图,不妨令.设
,则
.
令,得
,从而
;直线
的方程为
,
令,得
,从而
.
所以
.
当时,
,
所以,综上可知
.
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