Question

19．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API	空气质量	频数	频率
[0，50]	优	5	0.05
[50，100]	良	①	0.2
[100，150]	轻度污染	25	②
[150，200]	轻度污染	30	0.3
[200，250]	中度污染	10	0.1
[250，300]	中度重污染	10	0.1
合计		100	1.00

（I）求频率分布表中①、②位置相应的数据，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）请由频率分布直方图来估计这100天API的平均值；
（Ⅲ）假如企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为
S=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤ω≤100}\\{4ω-400，00＜ω≤200}\\{4.8ω-600，200＜ω≤300}\end{array}\right.$，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不
超过600元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意先求出（50，100]内的频数，从而能求出（50，100]的频率，进而能完成频率分布直方图．
（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这100天API的平均值．
（Ⅲ）一天的经济损失S不超过600元分为三种情况：当0＜ω≤100时，S=0，当100＜ω≤200时，S=4ω-100≤600，当200＜ω≤300时，S=4，分别求出相应的概率，由此能求出这天的经济损失S不超过600元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由题意得（50，100]内的频数为100×0.2=20，
（50，100]的频率为$\frac{25}{100}$=0.25，
频率分布直方图如右图所示．
（Ⅱ）由频率分布直方图估计这100天API的平均值为：
$\overline{x}$=0.05×25+0.2×75+0.25×125+0.3×175+0.1×225+0.1×275=150．
（Ⅲ）一天的经济损失S不超过600元分为三种情况：
当0＜ω≤100时，S=0，此时其概率为$\frac{5+20}{100}=0.25$，
当100＜ω≤200时，S=4ω-100≤600，即100＜ω≤200，此时其概率为$\frac{25+30}{100}=0.55$，
当200＜ω≤300时，S=4，8ω-600≤600，200＜ω≤250，此时其概率为$\frac{10}{100}=0.1$．
∴这天的经济损失S不超过600元的概率p=0.25+0.55+0.1=0.9．

点评 本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．