Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面平面，四边形为菱形，点是棱上不同于， 的点，平面与棱交于点， ， ， ．

（Ⅰ）求证： ∥平面；

（Ⅱ）求证： 平面；

（Ⅲ）若二面角为，求的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用面面平行的性质定理得到线线平行，再利用线面平行的判定定理进行求解；（Ⅱ）先利用面面垂直的性质定理和菱形的对角线相互垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（Ⅲ）利用空间向量进行求解.

试题解析：（Ⅰ）因为在三棱柱中，平面平面，

平面平面，

平面平面，

所以 .

又因为平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为，所以，

又因为平面平面，

所以平面.

所以 .

因为四边形为菱形，所以 .

所以平面.

（Ⅲ）取线段中点，因为菱形中， ，

所以 .

又因为 ，所以 .

又因为平面.

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则

所以， ， ， .

设，（ ）

，

设平面的法向量为，

则， 即，

令，则， .

所以.

由（Ⅱ）知， 是平面的一个法向量.则

因为二面角为，

.

解得，或（舍）.

所以，即的长为.