若第一象限的点(a.b)关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上.则$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}$的最小值是( )A．1B．3C．$\frac{25}{9}$D．$\frac{17}{9}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．若第一象限的点（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点在直线2x+y+3=0上，则$\frac{1}{a}+\frac{8}{b}$的最小值是（　　）

A．

B．

C．

$\frac{25}{9}$

D．

$\frac{17}{9}$

分析先根据对称性得到a，b的关系，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$利用基本不等式求出最小值即可．

解答解：设A（a，b）关于直线x+y-2=0的对称点B（x₀，y₀）在直线2x+y+3=0上，
∴线段AB的中点（$\frac{a{+x}_{0}}{2}$，$\frac{b{+y}_{0}}{2}$）在直线x+y-2=0上，
由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{2x}_{0}{+y}_{0}+3=0}\\{{K}_{AB}=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}-a}}\\{\frac{a{+x}_{0}}{2}+\frac{b{+y}_{0}}{2}-2=0}\end{array}\right.$，∴a+2b=9，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{8}{b}$=$\frac{a+2b}{9a}$+$\frac{8a+16b}{9b}$=$\frac{17}{9}$+$\frac{2b}{9a}$+$\frac{8a}{9b}$≥$\frac{17}{9}$+2$\sqrt{\frac{2b}{9a}•\frac{8a}{9b}}$=$\frac{25}{9}$，
当且仅当：$\frac{2b}{9a}$=$\frac{8a}{9b}$即b=2a时“=”成立，
故选：C．

点评本题考查了基本不等式的性质，考查图象的对称性，是一道中档题．

练习册系列答案

（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

18．已知定义在R上的奇函数f（x）的周期为4，其图象关于直线x=1对称，且当x∈（2，3]时，f（x）=-（x-2）（x-4），则f（sin$\frac{1}{2}$），f（sin1），f（cos2）的大小关系为（　　）

	A．	f（cos2）＞f（sin1）＞f（sin$\frac{1}{2}$）		B．	f（cos2）＞f（sin$\frac{1}{2}$）＞f（sin1）
	C．	f（sin$\frac{1}{2}$）＞f（cos2）＞f（sin1）		D．	f（sin1）＞f（sin$\frac{1}{2}$）＞f（cos2）

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（1，4）．
（Ⅰ）若向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$平行，求k的值；
（Ⅱ）若向量$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a+2\overrightarrow b$的夹角为锐角，求k的取值范围．

2．函数y=$\frac{1}{x}$-x的图象只可能是（　　）

A．