Question

【题目】已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga ．
（1）求f（x）的定义域D及其零点；
（2）设g（x）=mx2﹣2mx+3，当a＞1时，若对任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2），求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知， ＞0，1﹣x＞0，解得x＜1，

所以函数f（x）的定义域为：（﹣∞，1），

令f（x）=0，得 =1，解得：x=﹣1，

故函数f（x）的零点为﹣1

（2）解：若对于任意x1∈（﹣∞，﹣1]，存在x2∈[3，4]，使得f（x1）≤g（x2）成立，

只需f（x）max≤g（x）max，

当a＞1时，f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，则f（x）max=f（﹣1）=0，

当m=0时，g（x）=3，f（x1）≤g（x2）成立，

当m＞0时，g（x）在[3，4]上单调递增，g（x）max=g（4）=8m+3，

由8m+3≥0，解得：m≥﹣ ，∴m＞0，

当m＜0时，g（x）在[3，4]上单调递减，g（x）max=g（3）=3m+3，

由3m+3≥0，解得：m≥﹣1，∴﹣1≤m＜0，

综上，满足条件的m的范围是：m≥﹣1

【解析】（1）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可，令f（x）=0，求出函数的零点即可；（2）要满足题意只需f（x）max≤g（x）max ， 易得f（x）max=f（﹣1）=0，由二次函数分类讨论可得g（x）max ， 解关于m的不等式可得．