Question

16．设数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=$\frac{2}{3}，3{a_{n+1}}=2{a_n}$（n∈N^*），b₁+$\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-\frac{2}{3}$（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）当n∈N^*时，不等式b₁+b₂+b₃+…+b_n+λb_n+1+2≤0恒成立，试求常数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n，利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式可得b₁+b₂+b₃+…+b_n=S_n，再利用不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵${a_1}=\frac{2}{3}，3{a_{n+1}}=2{a_n}$，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{2}{3}$，{a_n}为首项为$\frac{2}{3}$，公比为$\frac{2}{3}$的等比数列，
∴${a_n}=\frac{2}{3}•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}={（\frac{2}{3}）^n}$
又∵${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-\frac{2}{3}$①
令$n=1，{b_1}={a_2}-\frac{2}{3}=-\frac{2}{9}$
令n≥2，${b_1}+\frac{b_2}{2}+\frac{b_3}{3}+…+\frac{{{b_{n-1}}}}{n-1}={a_n}-\frac{2}{3}$②
①-②得，$\frac{b_n}{n}={a_{n+1}}-{a_n}={（\frac{2}{3}）^{n+1}}-{（\frac{2}{3}）^n}$=$（-\frac{1}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$，
∴${b_n}=（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$（n≥2），当n=1时，满足此式．
∴${b_n}=（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$（n∈N*）
（2）令b₁+b₂+b₃+…+b_n=S_n，
${S_n}=（{-\frac{1}{3}}）（{\frac{2}{3}}）+（{-\frac{2}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{-1}）{（{\frac{2}{3}}）^3}+（{-\frac{4}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^4}+…+（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{S_n}=（{-\frac{1}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{-\frac{2}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^3}+（{-1}）{（{\frac{2}{3}}）^4}+（{-\frac{4}{3}}）{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+（-\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
相减得：$\frac{1}{3}{S_n}=-\frac{2}{9}-\frac{1}{3}（{（{\frac{2}{3}}）^2}+{（{\frac{2}{3}}）^3}+{（{\frac{2}{3}}）^4}+{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+{（\frac{2}{3}）^n}）+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$-\frac{1}{3}（\frac{2}{3}+{（{\frac{2}{3}}）^2}+{（{\frac{2}{3}}）^3}+{（{\frac{2}{3}}）^4}+{（{\frac{2}{3}}）^5}+…+{（\frac{2}{3}）^n}）+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$（-\frac{1}{3}）\frac{{\frac{2}{3}（1-{{\frac{2}{3}}^n}）}}{{1-\frac{2}{3}}}+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$
=$-\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}+（\frac{n}{3}）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$=$-\frac{2}{3}+（\frac{n}{3}+1）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
∴${S_n}=-2+（n+3）{（\frac{2}{3}）^n}^{+1}$，
∴S_n+λb_n+1+2≤0，化简得，${（\frac{2}{3}）^n}^{+1}[{（n+3）-（\frac{n+1}{3}）λ}]≤0$，
即$λ≥\frac{3（n+3）}{n+1}=3+\frac{6}{n+1}$，
∵n∈N*，∴$λ≥3+\frac{6}{1+1}=6$，
∴常数λ的取值范围为λ≥6．

点评 本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．