题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求
的最大值;
(Ⅱ)若对,
恒成立,求
的取值范围;
(Ⅲ)证明.
【答案】(I);(II)
;(III)详见解析.
【解析】试题分析:(1)运用导数与函数的单调性的关系等知识直接求解;(2)先对函数进行求导,再运用分类讨论的方法对不等式进行分析转化再运用导数知识求解;(3)先借助(1)的结论建立不等式,再运用叠加法、放缩法分析推证。
试题解析:
解:(Ⅰ)当时,
,
,
,
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
∴函数的最大值
.
(Ⅱ),∵
,∴
.
①当时,
恒成立,
∴在
上是减函数,∴
适合题意.
②当时,
,
∴在
上是增函数,∴
,
不能使在
恒成立.
③当时,
令,得
,
当时,
,
∴在
上为增函数,
∴,不能使
在
恒成立,
∴的取值范围是
.
(Ⅲ)由(Ⅰ)得,
∴(
),
取,
,则
,
∴
,
∴,
∴.
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