题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心且面积最小的圆与直线l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共点T．
（1）求出T点的坐标及圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|
|、|
|、|
|成等比数列，求
•
的范围；
（3）设点T关于y轴的对称点为Q，直线l与圆O交于M、N两点，试求S=
•
×tan∠MQN的最大值，并求出S取最大值时的直线l的方程．
（1）求出T点的坐标及圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|
| PA |
| PO |
| PB |
| PA |
| PB |
（3）设点T关于y轴的对称点为Q，直线l与圆O交于M、N两点，试求S=
| QM |
| QN |
分析：（1）由y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）可知，要使圆O的面积最小，半径最小，从而可得定点T（4，3）在圆上，可求圆O的方程
（2）可先设P（x0，y0），则科的
+
＜25…（1）由题意可得，|
|2=|
|•|
|，利用向量的数量积的坐标表示可得：
-
=
，联立可求y0的范围，代入可求求
•
的范围
（3）直线l与圆O的一个交点为M（4，3），定点Q（-4，3），由向量的数量积的定义可得，
•
=2S△MQN，从，要使S最大，则只要S△MNQ最大，即N到MQ的距离最大即可
（2）可先设P（x0，y0），则科的
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| PO |
| PA |
| PB |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| 25 |
| 2 |
| PA |
| PB |
（3）直线l与圆O的一个交点为M（4，3），定点Q（-4，3），由向量的数量积的定义可得，
| OM |
| ON |
解答：解：（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）…（2分）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x2+y2=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x0，y0），则
+
＜25…（1）
∵
=(-5-x0，-y0)，
=(5-x0，-y0)，
由|
|，|
|，|
|成等比数列得，|
|2=|
|•|
|，
即
+
=
•
，
整理得：
-
=
，
即
=
+
…（2）
由（1）（2）得：0≤
＜
，
•
=(
-25)+
=2
-
，
当y0=0时有最小值，当y02=
时，函数值为0
∴
•
∈[-
，0)．（10分）
（3）
•
×tan∠MQN=|
|•|
|cos∠MQN×tan∠MQN
=|
|•|
|sin∠MQN=2S△MQN，…（11分）
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线lMQ：y=3，
∴|MQ|=8，则当N（0，-5）时S△MQN有最大值32．…（14分）
即
•
×tan∠MQN有最大值为64，
此时直线l的方程为2x-y-5=0．…（16分）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x2+y2=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x0，y0），则
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
∵
| PA |
| PB |
由|
| PA |
| PO |
| PB |
| PO |
| PA |
| PB |
即
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
(x0+5)2+
|
(x0-5)2+
|
整理得：
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| 25 |
| 2 |
即
| x | 2 0 |
| 25 |
| 2 |
| y | 2 0 |
由（1）（2）得：0≤
| y | 2 0 |
| 25 |
| 4 |
| PA |
| PB |
| x | 2 0 |
| y | 2 0 |
| y | 2 0 |
| 25 |
| 2 |
当y0=0时有最小值，当y02=
| 25 |
| 4 |
∴
| PA |
| PB |
| 25 |
| 2 |
（3）
| QM |
| QN |
| QM |
| QN |
=|
| QM |
| QN |
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线lMQ：y=3，
∴|MQ|=8，则当N（0，-5）时S△MQN有最大值32．…（14分）
即
| QM |
| QN |
此时直线l的方程为2x-y-5=0．…（16分）
点评：本题主要考查了直线方程的点斜式在判断直线恒过定点中的应用，直线与圆相交关系的应用及向量的数量积的坐标表示等知识的综合应用
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