题目内容

（2011•开封一模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的上项点为B1，右、右焦点为F1、F2，△B1F1F2是面积为
3
的等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知P（x0，y0）是以线段F1F2为直径的圆上一点，且x0＞0，y0＞0，求过P点与该圆相切的直线l的方程；
（III）若直线l与椭圆交于A、B两点，设△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H，请问原点O在以线段GH为直径的圆内吗？若在请说明理由．
分析：（I）利用三角形的面积公式和等边三角形的性质可得
1
2
b•2c=
3
，a=2c，又a2=b2+c2．即可解出．
（Ⅱ）由F1F2是圆的一条直径，可得圆的方程为x2+y2=1．又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，可得kl•
y0
x0
=-1，解得kl=-
x0
y0
．可得切线方程为y-y0=-
x0
y0
(x-x0)，又
x
2
0
+
y
2
0
=1，即可得出；．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），据重心定理可得G(
x1
3
，
y1
3
)，H(
x2
3
，
y2
3
)．若原点O在以线段GH为直径的圆内?
OH
•
OG
＜0?x1x2+y1y2＜0，联立
x0x+y0y-1=0
x2
4
+
y2
3
=1
，可得y1+y2，y1y2，又x1x2=
1-y0y1
x0
•
1-y0y2
x0
，即可证明x1x2+y1y2＜0．
解答：解：（I）∵
1
2
b•2c=
3
，a=2c，a2=b2+c2．
解得c2=1，b2=3，a2=4，
∴椭圆C的方程为：
x2
4
+
y2
3
=1
（Ⅱ）∵F1F2是圆的一条直径，∴圆的方程为x2+y2=1，
又P（x0，y0）是该圆在第一象限部分上的切线的切点，
∴kl•
y0
x0
=-1，解得kl=-
x0
y0
．
∴切线方程为y-y0=-
x0
y0
(x-x0)，又
x
2
0
+
y
2
0
=1，
化为l：x0x+y0y-1=0．
∴切线方程为l：x0x+y0y-1=0．
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2），则G(
x1
3
，
y1
3
)，H(
x2
3
，
y2
3
)．
若原点O在以线段GH为直径的圆内，则
OH
•
OG
＜0，即
x1x2
9
+
y1y2
9
＜0，即x1x2+y1y2＜0，
下面给出证明：联立
x0x+y0y-1=0
x2
4
+
y2
3
=1
，
消去x整理为(4
x
2
0
+3
y
2
0
)y2-6y0y+3-12
x
2
0
=0，
∴y1+y2=
6y0
4
x
2
0
+3
y
2
0
，y1y2=
3-12
x
2
0
4
x
2
0
+3
y
2
0
，
∴x1x2=
1-y0y1
x0
•
1-y0y2
x0
=
1-y0(y1+y2)+
y
2
0
y1y2
x
2
0
=
4-12
y
2
0
4
x
2
0
+3
y
2
0
，
∴x1x2+y1y2=
7-12(
x
2
0
+
y
2
0
)
4
x
2
0
+3
y
2
0
=-
5
x
2
0
+3
＜0．
∴原点O在以线段GH为直径的圆内．
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量数量积运算、直线与圆相切、点与圆的位置关系判定等基本知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力与计算能力．．
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