Question

（2011•开封一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-7|-|x-3|，
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）当x＜5时，不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由于函数f（x）=|x-7|-|x-3|=

4 ， x≤3 10-2x ，3＜x≤7 -4 ，x＞7

，由此根据函数的解析式作出函数的图象．
（II）当x＜5时，由题意可得|x-a|＜6-x恒成立．平方可得（12-2a）x＜36-a²．结合题意可得12-2a＞0，且x＜

6+a

2

．故有

6+a

2

≥5，且a＜6，由此求得a的范围．

解答：解：（I）由于函数f（x）=|x-7|-|x-3|=

4 ， x≤3 10-2x ，3＜x≤7 -4 ，x＞7

，如图所示：
（II）当x＜5时，由于不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，
故|x-a|＜6-x恒成立．
平方可得，（12-2a）x＜36-a²．
结合题意可得12-2a＞0，且x＜

6+a

2

．
故有

6+a

2

≥5，且a＜6，解得6＞a≥4．
故所求的a的范围为[4，6）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，属于中档题．